Зміст:
Метод Гаусса – один із найпоширеніших чисельних методів розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Він заснований на ідеї покрокового ітеративного виключення невідомих змінних рівнянь системи, щоб звести її до еквівалентної трикутної системи, яку легко вирішити методом зворотного ходу.
Ідея методу Гауса полягає в наступному. Спочатку система рівнянь представляється у вигляді матриці, яка називається розширеною матрицею системи, в якій стовпці відповідають невідомим змінним, а рядки – рівнянням системи. Потім застосовуються перетворення рядків даної матриці з метою отримати трикутну систему рівнянь, у якій елементи під головною діагоналлю дорівнюють нулю.
Основний крок алгоритму методу Гауса – це елементарні перетворення рядків матриці, які виконуються за допомогою множення рядків на певні коефіцієнти та наступної заміни одного рядка на суму цього рядка та іншого рядка, помноженого на коефіцієнт. Таким чином, кожне перетворення зберігає еквівалентність розширеної матриці системи з вихідною системою рівнянь. Після застосування всіх необхідних перетворень до матриці вона перетворюється на трикутну матрицю.
Потім здійснюється зворотний хід, в ході якого з останнього рівняння знаходиться значення останньої невідомої змінної і підставляються отримані значення проміжних невідомих змінних попередні попередні рівняння, поки всі невідомі не будуть визначені.Таким чином, метод Гауса дозволяє знайти рішення системи лінійних рівнянь шляхом застосування послідовності елементарних перетворень до розширеної матриці та подальшого зворотного ходу.
| Метод Гауса | Рішення СЛАУ |
|---|---|
| Метод Гаусса – це чисельний метод розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). | СЛАУ – це система рівнянь, де є кілька лінійних рівнянь з невідомими змінними. |
| Ідея методу Гауса полягає у приведенні СЛАУ до еквівалентної системи з трикутною матрицею. | Для вирішення СЛАУ із трикутною матрицею використовують зворотний хід методу Гаусса. |
| Процес приведення СЛАУ до трикутної матриці ґрунтується на елементарних перетвореннях рядків матриці. | Елементарні перетворення рядків матриці дають змогу змінювати значення рівнянь СЛАУ без зміни їх рішень. |
| Коли СЛАУ приведено до трикутної матриці, знаходять значення невідомих змінних за допомогою зворотного ходу Гауса. | Зворотний хід методу Гауса заснований на послідовному обчисленні значень невідомих змінних, починаючи з останнього рівняння і до першого. |
| Метод Гаусса є одним із базових методів рішення СЛАУ та широко застосовується в математиці, фізиці, інженерії та інших науках. | Рішення СЛАУ за допомогою методу Гаусса дозволяє знайти значення невідомих змінних лінійних рівнянь, що задовольняють системі. |
Метод Гаусса – це метод розв'язання квадратних систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), суть якого полягає в послідовне виключення невідомих змінних за допомогою елементарних перетворень рядків.
У чому суть прямих методів розв'язання СЛАУ?
Методи вирішення Прямі методи дають алгоритм, яким можна знайти точне рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ітераційні методи засновані на використанні процесу, що повторюється, і дозволяють отримати рішення в результаті послідовних наближень.
У чому полягає метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь?
Метод Гауса – метод вирішення будь-яких систем лінійних рівнянь, заснований на ідеї зведення за допомогою елементарних перетворень СЛУ (її матриці) до рівносильної ступінчастої, а потім послідовного вираження невідомих. Нульова система рівнянь – система, яка має всі коефіцієнти рівні 0.
У чому полягає прямий хід методу Гауса?
Прямий хід методу Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих у рівняннях розв'язуваної системи. Рядок, який використовується для виключення невідомих, називається ведучим.
Навіщо потрібен метод Гаусса?
Тобто метод Гауса – найбільш універсальний метод для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь, він працює у випадку, коли система має нескінченно багато рішень або несумісна. Кеш